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Arnaldo Calazans, M.Sc., Engenheiro Civil  
Taquara - Rio de Janeiro - Brasil  

Tel: (55 21) 2423-4832  
Cel: (55 21) 99289-1752  

Engenheiro Civil Calculista Estrutural em Concreto Armado e Estruturas Metálicas
Reforço Estrutural
Perícias e Legalização de obras

Arnaldo Calazans, M.Sc, Engenheiro Civil rj

Programa para Análise Tridimensional de Edifícios Elevados

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    II - Modelo Estrutural

                II-1. IDEALIZAÇÃO E HITÓTESES

                O modelo estrutural é idealizado como constituído basicamente por barras representando vigas e pilares, conectadas entre si através de suas extremidades em pontos nodais. A posição de uma barra é definida pela linha que passa pelos centros de gravidade das seções transversais do elemento estrutural por ela representado.
                Quanto à disposição relativa dos elementos na estrutura, deve-se admitir que:
    a) uma viga qualquer está sempre contida no plano horizontal correspondente ao nível do andar a que pertence. Podem ser quaisquer as posições relativas desses elementos  em um determinado andar, e seus eixos devem ser retos ou circulares em planta (excepcionalmente podem ser incluídas no modelo vigas de formas quaisquer, como se verá mais adiante. Seus extremos podem coincidir com pontos nodais ou estarem excentricamente conectados aos mesmos de modo a simular o comportamento de vigas unidas a colunas de grande dimensões transversais (fig. II-1).

    Fig. II-1 - Esquema de um vigamento

    Fig. II-1           Esquema de um vigamento

    b) um pilar qualquer interpõe-se a dois andares contíguos, podendo seu eixo longitudinal ser vertical ou não. Seus extremos também podem ser excêntricos em relação aos pontos nodais da estrutura, o que permite representar, por exemplo, eventuais mudanças da posição do eixo de uma coluna vertical cujas dimensões transversais sofram alterações ao longo do edifício (fig. II-2 c). É livre a disposição das colunas em planta, e não se exige sua continuidade de um pavimento para outro.

    Fig. II-2 - Pilares

    Fig. II-2 Pilares

                As lajes são consideradas como diafragmas, ou seja, infinitamente rígidas em seus planos e com rigidez nula à flexão. Além disto, idealiza-se em cada pavimento um conjunto de lajes contínuas em toda a sua extensão.
                
    São supostas válidas as hipóteses das seções planas para as barras, do comportamento elástico-linear para os materiais (linearidade física) e da teoria de primeira ordem para os deslocamentos (linearidade geométrica).

                II-2. SISTEMA DE REFERÊNCIA GLOBAL

                Para  a definição das características topológicas e análise dos deslocamentos e reações de apoio da estrutura é adotado um sistema de referência tri-ortorgonal direto XG, YG e ZG, com origem em um ponto arbitrário da base da estrutura e ZG vertical de sentido ascendente (Figs. II-3).

    Fig. II-3 - Sistema de referência global

                Fig. II-3           Sistema de referência global

      II-3. GRAUS DE LIBERDADE DOS NÓS DA ESTRUTURA

                Considerando-se a hipótese das lajes trabalhando como diafragmas, os graus de liberdade dos nós da estrutura são os seguintes:
    a) Cada nó pode se deslocar independentemente segundo a direção vertical ZG e sofrer uma rotação horizontal de componente XG e YG , possuindo assim três graus de liberdade. A estes movimentos será dada a denominação de "deslocamentos independente de nó" (fig. II-4 a).
    b) Cada andar pode sofrer uma translação horizontal de componentes nas direções XG e YG e uma rotação segundo o eixo vertical ZG , sendo estes três graus de liberdade os correspondentes aos movimentos do andar como um corpo rígido em seu plano. Por este motivo é que a eles será conferida a designação de "deslocamentos de corpo rígido de andar" ou simplesmente "deslocamentos de andar" (fig. II-4 b). O ponto de referência para a medida desses deslocamentos é a interseção do plano do andar com o eixo ZG.

    Fig. II-4             Graus de liberdade

    Fig. II-4           Graus de liberdade

                Nesta análise, ao se estabelecer os graus de liberdade de um andar como um corpo rígido, considera-se que os seus movimentos são acompanhados por todos os demais andares sobrepostos. Trabalha-se, pois, com o conceito de deslocamentos de "bloco de andares", contados em relação ao pavimento imediatamente subjacente (*). Este conceito, proporciona uma diminuição da quantidade de coeficientes não nulos do sistema de equações de equilíbrio da estrutura, em comparação com o mesmo sistema de equações obtido com a consideração de deslocamentos "absolutos" de andar.


    (*)  Neste trabalho a numeração dos andares é feita a partir do topo da estrutura.

                Do exposto conclui-se que o número de graus de liberdade de um pavimento qualquer i é 3(ni + 1), onde ni é a quantidade de pontos nodais nele estabelecidos. O número total de graus de liberdade da estrutura é, portanto,

    p

    3 (   S  ni  + p ) ,

    i = 1

    sendo p o número de pavimentos do edifício.

                II-4. ELEMENTOS ESTRUTURAIS

                            II-4.1 VIGAS

                            Na presente análise só se consideram vigas tais que cada seção transversal reta tenha uma das direções principais de inércia vertical. Respeitadas esta exigência e a da horizontalidade dessas peças, elas podem ter eixos longitudinais e seções transversais de formas quaisquer. Entretanto, neste programa somente serão calculados automaticamente os coeficientes de rigidez e os esforços de engastamento prefeito dos seguintes tipos de vigas (fig. II-6):

    • - vigas de eixo reto e seção transversal constante;

    • - vigas de eixo reto com mísulas retas verticais;

    • - vigas de eixo circular e seção transversal constante.

    Fig. II-6              Tipos mais comuns de vigas

    Fig II-6            Tipo mais comuns de vigas

                Para outro tipo de viga que não estes, a matriz de rigidez é obtida a partir da matriz de flexibilidade de um dos extremos da peça, conforme o procedimento indicado mais adiante.

                            II-4.2 PILARES

                            Um pilar deve ter o eixo retilíneo e forma geométrica tal que não haja interseção da flexão com a torção. Dentro deste conceito as formas das seções transversais podem ser quaisquer, porém este programa foi feito para aceitar de maneira simples os dados numéricos dos pilares de seção transversal constante.
                
    Pilares paredes e caixas formando núcleos resistentes podem ser tratados de forma aproximada como barras. No caso de vigas conectadas a estes elementos, dispõem-se elementos infinitamente rígidos ("trechos rígidos") ligando os extremos daquelas aos eixos dos pilares (fig. II-7).

    Fig. II-7   Viga unida a caixa formando núcleo resistente

                                       Fig. II-7           Viga unida a caixa formando núcleo resistente

                Elementos de comtraventamento - tais como barras de treliça - podem ser incluídos no modelo estrutural como pilares com rigidez nulas à flexão e à torção (fig. II-8). Assim considerados, estes elementos podem ser usados com a finalidade de simular o efeito do contraventamento de paredes de alvenaria, caso se disponha dos parâmetros elásticos apropriados.

    Fig. II-8           Elemento de contraventamento

                                       Fig. II-8           Elemento de contraventamento

                II-5 APOIOS

                São implicitamente considerados como apoiadas no solo todas as colunas do pavimento mais inferior da estrutura. Estes apoios, situados em um mesmo plano horizontal, podem ser fixos (ou seja, com deslocamentos prescritos nas direções dos deslocamentos independentes de nó) ou elásticos (fig. II-9a). Em conseqüência, permite-se analisar no modelo os efeitos de recalques diferenciais dos apoios.
                Podem ser levados em conta, ainda, apoios elásticos ao nível de cada andar nas direções de seus deslocamentos de corpo rígido (fig. II-9b). Estes apoios elásticos laterais permitem a análise de estruturas simétricas submetidas a carregamentos também simétricos em relação a um mesmo plano vertical, conforme se pode ver mais adiante. Outra aplicação desses apoios elásticos seria a de permitir a consideração da interação lateral solo-estrutura nos pavimentos de subsolo.

    Fig. II-9           Apoios da estrutura

                                       Fig. II-9           Apoios da estrutura

                II-6. SOLICITAÇÕES EXTERNAS

                Os carregamentos considerados nesta análise, todos de natureza estática, são supostos atuarem sobre a estrutura das seguintes maneiras:

    bola 

    Sobre as vigas, como cargas concentradas e distribuídas;

    bola

    Diretamente sobre os nós, como cargas verticais e momentos segundo as direções dos deslocamentos independentes de nó;

    bola

    Sobre os andares, como forças horizontais e momentos segundo as direções dos deslocamentos de corpo rígido de andar (são carregamentos típicos do efeito do vento).
                Não são consideradas cargas aplicadas sobre os pilares, com exceção do peso próprio.

 

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